Question

已知A(2，0)，直線y=(2−)x−2交x軸于點F，y軸于點B，直線l∥AB且交 y軸于點C，交x軸于點D，點A關于直線l的對稱點為A' ,連結AA'，A'D。直線l從AB開始，以1個單位每秒的速度沿y軸正方向向上平移，設移動時間為t.

1.求A'點的坐標（用t的代數式表示）

2.請猜想AB與AF長度的數量關系，并說明理由

3.過點C作直線AB的垂線交直線y=(2−)x−2于點E，以點C為圓心CE為半徑作⊙C，求當t為何值時，⊙C與△AA′D三邊所在直線相切？

 

Answer 1

 

1.∵l∥AB．   ∴∠ODC=∠OAB

∵A(2, 0)   B(0, -2)    ∴tan∠OAB=

∴∠ODC=∠OAB=30°                      ……………1分

        ∵BC=t,    ∴OC=2−t,    ∴OD=(2−t)    ∴AD=t

        ∵點A關于直線l的對稱點為A',   

           ∴A'D=AD=t     ∠A'DA=60°  ∴△A'DA是正三角形 ………2分

           過點A'作A'H⊥AD于H,     ∴AH=t    A'H=t

          ∴A'點的坐標為(2−t, t)            ……………3分

2.AB=AF                                 …………4分

說明：∵F(4+2, 0)    ∴AF=4

   在Rt△OAB中，OA=2,OB=2,   ∴AB=4,

   ∴AB=AF                             …………6分

3.∵直線l是點A和A'的對稱軸

   ∴直線l是∠A'DA的平分線

   ∴點C到直線AD和A'D的距離相等

   ∴當⊙C與AD相切時，也一定與A'D相切…………7分

   ∵∠OAB=30°且AB=AF

    ∴∠ABF=15°    ∴∠CBF=75°

    ∵CE⊥AB   ∠OBA=60°    ∴∠BCE=30°

    ∴∠CEB=75°    ∴CB=CE…………（8分）

    ∵⊙C與AD相切    ∴OC=CE=CB    ∴t=1…………9分

    當⊙C與A A'相切于點M時，CE=CB=CM

   ∴CM=t

    ∵CM=DM-CD

    在Rt△OCD中，∠ODC=30°, OC=t−2

    ∴CD=2t−4

    ∴2t−4+t=t     ∴t=               …………10分

解析:略