Question

如圖，△AOB和△COD均為等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，D在AB上．
（1）求證：△AOC≌△BOD；
（2）判斷△CAD是什么形狀的三角形，說明理由；
（3）若CD=2，AC=

3

，∠ACD=30°，求AB的長．

Answer 1

分析：（1）根據題意得出∠1=∠2，進而利用SAS即可得出△AOC≌△BOD；
（2）利用△AOC≌△BOD，則∠CAO=∠DBO=45°，即可得出△CAD是直角三角形；
（3）利用∠ACD=30°，CD=2，結合直角三角形中30°所對的邊等于斜邊的一半得出AD=

1

2

CD=1，得出AB=AD+BD=AD+AC即可得出答案．

解答：（1）證明：∵△AOB和△COD均為等腰直角三角形，
∠AOB=∠COD=90°，
∴∠1=90°-∠3，∠2=90°-∠3，
∴∠1=∠2，
在△AOC和△BOD中

CO=DO ∠1=∠2 OA=OB

，
∴△AOC≌△BOD（SAS）；

（2）解：△CAD是直角三角形；
理由：∵△AOC≌△BOD，
∴∠CAO=∠DBO=45°，
又∠BAO=45°，
∴∠CAD=90°，
∴△CAD是直角三角形；

（3）解：在Rt△CAD中，∠ACD=30°，CD=2，
∴AD=

1

2

CD=1，
又∵△AOC≌△BOD，
∴AC=BD，
∴AB=AD+BD=AD+AC=1+

3

．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質以及直角三角形的判定方法，根據全等三角形的判定AOC≌△BOD是解題關鍵．