Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D在邊 AC上，AE⊥BD于 E

(1)如圖1，作 CF⊥BD于F，求證：CF－AE＝EF

(2)如圖2，若 BC＝CD，求的值

(3)如圖3，作 BM⊥BE，且 BM＝BE，AE＝2，EN＝4，連 CM交 BE于 N，請直接寫出△BCM的面積為___

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）5

【解析】

（1）利用已知條件易證△ABE≌△BCF，所以CF＝BE，AE＝BF，進而可證明EF＝CF－AE；

（2）作 CF⊥BD于 F，根據（1）可知AE=BF，再根據BC＝CD，CF⊥BD得到F為BD中點，故可得到=；

（3）過作 CF⊥BD于 F，根據（1）得△ABE≌△BCF，根據BM⊥BE，且 BM＝BE得到△BMN≌△FCN，故S△BCM=S△BCF=×BF×FC，即可求解.

（1）證明：∵CF⊥BD于點F，AE⊥BD，

∴∠AEB＝∠CFB＝90°，

∴∠ABE＋∠BAE＝90°，

又∵∠ABC＝90°，

∴∠ABE＋∠CBE＝90°，

∴∠BAE＝∠CBF，

在三角形ABE和BCF中，

，

∴△ABE≌△BCF（AAS），

∴CF＝BE，AE＝BF，

∴EF＝CF－AE．

（2）如圖，作 CF⊥BD于 F，根據（1）可知AE=BF，

∵BC＝CD，CF⊥BD

∴F為BD中點，

∴DF=BF=AE

∴=；

（3）過作CF⊥BD于 F，

由（1）得△ABE≌△BCF，

∵BM⊥BE，且BM＝BE，

∴BM＝FC

又∠MNB=∠CNF，

∴△BMN≌△FCN，

∴S△BMN=S△FCN，BN=FN

∵AE＝2，EN＝4，

∴BF= AE＝2,BN=BF=1,

故BE=BN+EN=5

故S△BCM=S△BCF=×BF×FC=×2×BE==5.