Question

【題目】已知:平行線與與與之間的距離分別為且，．我們把四個頂點分別在這四條平行線上的四邊形稱為“線上四邊形”

（1）如圖1，正方形為“線上四邊形”，于點的延長線交直線于點．求正方形的邊長．

（2）如圖2，菱形為“線上四邊形”且是等邊三角形，點在直線上，連接且的延長線分別交直線于點．求證:．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見詳解

【解析】

（1）利用AAS證明△ABE≌△BCF，即可求得AE和BE的長，然后利用勾股定理即可求解；

（2）先△ACE≌△ADF，然后利用全等的性質(zhì)得到．

解：（1）如圖1，

∵BE⊥l，l∥k，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
又四邊形ABCD是正方形，
∴∠1+∠2=90°，AB=BC，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∴在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF=2，
∵BE=d1+d2=2+3=5，
∴AB=，
∴正方形的邊長是；

（2）如圖，連接AC

∵四邊形ABCD是菱形

∴CD=AD

∵

∴△ACD是等邊三角形

∴AD=AC，∠CAD=60°

∵是等邊三角形

∴AE=AF，∠EAF=60°

∵∠FAD=∠CAD-∠CAF =60°-∠CAF

∠EAC=∠EAF-∠CAF =60°-∠CAF

∴∠FAD=∠EAC

∴在△ACE和△ADF中，
，
∴△ACE≌△ADF（SAS），
∴．