Question

【題目】如圖，拋物線經過，兩點，且與軸交于點，點是拋物線的頂點，拋物線的對稱軸交軸于點，連接．

（1）求經過，，三點的拋物線的函數表達式；

（2）點是線段上一點，當時，求點的坐標；

（3）在（2）的條件下，過點作軸于點，為拋物線上一動點，為軸上一動點，為直線上一動點，當以、、、為頂點的四邊形是正方形時，請求出點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2） ；（3） ，，，．

【解析】

（1）利用待定系數法求出過A，B，C三點的拋物線的函數表達式；

（2）連接PC、PE，利用公式求出頂點D的坐標，利用待定系數法求出直線BD的解析式，設出點P的坐標為（x，-2x+6），利用勾股定理表示出PC2和PE2，根據題意列出方程，解方程求出x的值，計算求出點P的坐標；

（3）設點M的坐標為（a，0），表示出點G的坐標，根據正方形的性質列出方程，解方程即可．

解：（1）拋物線經過，兩點，

，

解得，，

經過三點的拋物線的函數表達式為．

（2）如圖1，連接，

，

當時，，

點的坐標為，

設直線的解析式為：，

則，

解得，，

直線的解析式為，

設點的坐標為，

則，

，

，

解得，，

則，

點的坐標為；

（3）設點的坐標為，則點的坐標為，

以為頂點的四邊形是正方形，

，即，

當時，

整理得，，

解得，，

當時，

整理得，，

解得，，

以為頂點的四邊形是正方形時，點的坐標為，，，．