Question

【題目】在矩形ABCD中，點P在AD上，AB=，AP=1．將直角尺的頂點放在P處，直角尺的兩邊分別交AB、BC于點E、F，連接EF（如圖1）．當(dāng)點E與點B重合時，點F恰好與點C重合（如圖2）.將直角尺從圖2中的位置開始，繞點P順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點E和點A重合時停止．在這個過程中，從開始到停止，線段EF的中點所經(jīng)過的路徑長為．

Answer 1

【答案】

【解析】

根據(jù)題意先利用相似三角形的判定與性質(zhì)求得圖2中PC的長，再設(shè)線段EF的中點為O，連接OP，OB，如圖1，證明得到O點在線段BP的垂直平分線上，然后如圖2，當(dāng)點E與點B重合時，點F與點C重合時，EF的中點為BC的中點O，當(dāng)點E與點，A重合時，EF的中點為PB的中點O，得到OO′為△PBC的中位線，即OO′=PC.

解：如圖2，
在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∵AP=1，AB=，
∴PB==2,
∵∠ABP+∠APB=90°，∠BPC=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°，
∴∠ABP=∠DPC，
∴△APB∽△DCP，
∴AP：CD=PB：CP，即1：=2：PC，
∴PC=2，
設(shè)線段EF的中點為O，連接OP，OB，如圖1，
在Rt△EPF中，OP=EF，
在Rt△EBF中，OB=EF，
∴OP=OB，
∴O點在線段BP的垂直平分線上，
如圖2，當(dāng)點E與點B重合時，點F與點C重合時，EF的中點為BC的中點O，
當(dāng)點E與點，A重合時，EF的中點為PB的中點O，
∴OO′為△PBC的中位線，
∴OO′=PC=，
∴線段EF的中點經(jīng)過的路線長為.

故答案為：.