Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3．點D是BC邊上的一動點（不與點B、C重合），過點D作DE⊥BC交AB于點E，將∠B沿直線DE翻折，點B落在射線BC上的點F處．當△AEF為直角三角形時，BD的長為 ．

Answer 1

【答案】1或2
【解析】解：根據題意得：∠EFB=∠B=30°，DF=BD，EF=EB， ∵DE⊥BC，
∴∠FED=90°﹣∠EFD=60°，∠BEF=2∠FED=120°，
∴∠AEF=180°﹣∠BEF=60°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3，
∴AC=BCtan∠B=3× = ，∠BAC=60°，
如圖①若∠AFE=90°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠EFD+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°，
∴∠FAC=∠EFD=30°，
∴CF=ACtan∠FAC= × =1，
∴BD=DF= =1；
如圖②若∠EAF=90°，
則∠FAC=90°﹣∠BAC=30°，
∴CF=ACtan∠FAC= × =1，
∴BD=DF= =2，
∴△AEF為直角三角形時，BD的長為：1或2．

首先由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3，即可求得AC的長、∠AEF與∠BAC的度數，然后分別從從∠AFE=90°與∠EAF=90°去分析求解，又由折疊的性質與三角函數的知識，即可求得CF的長，繼而求得答案．