Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，∠BAC的平分線交⊙O于點D，交⊙O的切線BE于點E，過點D作DF⊥AC，交AC的延長線于點F．
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）若DF=3，DE=2 ①求 值；
②求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD

∵OA=OD，∴∠1=∠2

∵∠1=∠3，∴∠2=∠3

∴OD∥AF

∵DF⊥AF，∴OD⊥DF

∴DF是⊙O的切線

（2）證明：①解：連接BD

∵直徑AB

∴∠ADB=90°

∵圓O與BE相切

∴∠ABE=90°

∵∠DAB+∠DBA=∠DBA+∠DBE=90°

∴∠DAB=∠DBE

∴∠DAB=∠FAD

∵∠AFD=∠BDE=90°

∴△BDE∽△AFD

∴

②連接OC，交AD于G

由①，設BE=2x，則AD=3x

∵△BDE∽△ABE∴

∴

解得：x1=2， （不合題意，舍去）

∴AD=3x=6，BE=2x=4，AE=AD+DE=8

∴AB= ，∠1=30°

∴∠2=∠3=∠1=30°，∴∠COD=2∠3=60°

∴∠OGD=90°=∠AGC，∴AG=DG

∴△ACG≌△DOG，∴S△AGC=S△DGO

∴S陰影=S扇形COD=

【解析】（1）作輔助線，連接OD．根據切線的判定定理，只需證DF⊥OD即可；（2）①連接BD．根據BE、DF兩切線的性質證明△BDE∽△ABE；又由角平分線的性質、等腰三角形的兩個底角相等求得△ABE∽△AFD，所以△BDE∽△AFD；最后由相似三角形的對應邊成比例求得 ；②連接OC，交AD于G．由①，設BE=2x，則AD=3x．利用①中的△BDE∽△ABE的對應邊成比例的性質求得 ，據此列出關于x的方程，解方程求得x=2，繼而可以求出AD=3x=6，BE=2x=4，AE=AD+DE=8；然后由勾股定理知AB=4 ，在直角三角形ABE中求得∠1=30°；再由三角形的角平分線的性質、等腰三角形的性質及邊角關系求得AG=DG，所以△ACG≌△DOG；最后根據兩個全等三角形的面積相等的性質求扇形的面積即可．
【考點精析】本題主要考查了勾股定理的概念和扇形面積計算公式的相關知識點，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）才能正確解答此題．