Question

【題目】如圖，拋物線y=-x2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點，且B點的坐標為（3，0），經過A點的直線交拋物線于點D （2， 3）.

（1）求拋物線的解析式和直線AD的解析式；

（2）過x軸上的點E （a，0） 作直線EF∥AD，交拋物線于點F，是否存在實數a，使得以A、D、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出滿足條件的a；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1） y=-x2+2x+3；y=x+1；（2） a的值為-3或4±．

【解析】

試題分析：（1）把點B和D的坐標代入拋物線y=-x2+bx+c得出方程組，解方程組即可；由拋物線解析式求出點A的坐標，設直線AD的解析式為y=kx+a，把A和D的坐標代入得出方程組，解方程組即可；

（2）分兩種情況：①當a＜-1時，DF∥AE且DF=AE，得出F（0，3），由AE=-1-a=2，求出a的值；

②當a＞-1時，顯然F應在x軸下方，EF∥AD且EF=AD，設F （a-3，-3），代入拋物線解析式，即可得出結果．

試題解析：（1）把點B和D的坐標代入拋物線y=-x2+bx+c得：

，

解得：b=2，c=3，

∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+3；

當y=0時，-x2+2x+3=0，

解得：x=3，或x=-1，

∵B（3，0），

∴A（-1，0）；

設直線AD的解析式為y=kx+a，

把A和D的坐標代入得：

，

解得：k=1，a=1，

∴直線AD的解析式為y=x+1；

（2）分兩種情況：①當a＜-1時，DF∥AE且DF=AE，

則F點即為（0，3），

∵AE=-1-a=2，

∴a=-3；

②當a＞-1時，顯然F應在x軸下方，EF∥AD且EF=AD，

設F （a-3，-3），

由-（a-3）2+2（a-3）+3=-3，

解得：a=4±；

綜上所述，滿足條件的a的值為-3或4±．