Question

【題目】如圖，點P在y軸上，⊙P交x軸于A，B兩點，連接BP并延長交⊙P于點C，過點C的直線y＝2x＋b交x軸于點D，且⊙P的半徑為，AB＝4.

(1)求點B，P，C的坐標；

(2)求證：CD是⊙P的切線．

Answer 1

【答案】（1）C(－2，2)；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：

（1）Rt△OBP中，由勾股定理得到OP的長，連接AC，因為BC是直徑，所以∠BAC=90°，因為OP是△ABC的中位線，所以OA=2，AC=2，即可求解；

（2）由點C的坐標可得直線CD的解析式，則可求點D的坐標，從而可用SAS證△DAC≌△POB，進而證∠ACB=90°.

試題解析：

(1)解：如圖，連接CA.∵OP⊥AB，∴OB＝OA＝2.∵OP2＋BO2＝BP2，

∴OP2＝5－4＝1，OP＝1.∵BC是⊙P的直徑，∴∠CAB＝90°.

∵CP＝BP，OB＝OA，∴AC＝2OP＝2.∴B(2，0)，P(0，1)，C(－2，2)．

(2)證明：∵直線y＝2x＋b過C點，∴b＝6.∴y＝2x＋6.

∵當y＝0時，x＝－3，∴D(－3，0)．∴AD＝1.∵OB＝AC＝2，AD＝OP＝1，

∠CAD＝∠POB＝90°，∴△DAC≌△POB.∴∠DCA＝∠ABC.

∵∠ACB＋∠CBA＝90°，∴∠DCA＋∠ACB＝90°，即CD⊥BC.∴CD是⊙P的切線．