Question

如圖，直線y=-

1

2

x+4交x軸A，交y軸于B，M為OA上一點，⊙M經過B、A兩點，交x軸負半軸于一點C，交y軸的負半軸于一點D．
（1）求M的坐標．
（2）BM的延長線交⊙M于E，直線BA繞B點順時針旋轉經過△OBM的內心I時交AE的延長線于K，求線段AK的長．
（3）分別過A、B兩點作⊙M的切線相交于點P，過AB兩點的動圓⊙N交PB的延長線于G，交y軸的負半軸于H．有兩個結論：①BH+BG的值不變，②BH-BG的值不變．其中只有一個是正確的．請作出判斷，并求其值．

Answer 1

分析：（1）首先求得A、B的坐標，則M是線段AB的中垂線與x軸的交點，求得AB的垂直平分線的解析式，然后求得與x軸的交點即可；
（2）根據內心的定義以及等腰三角形的性質，和等角對等邊可以證得：△BAK是等腰直角三角形，根據勾股定理求得AB，即可求得AK的長；
（3）過A作AF⊥PG于F，連接AG，AH，可以證得：△AOB≌△AFB，且Rt△FGA≌Rt△AOH，則BH-BG=（BO+OH）-BG=BO+FG-BG=BO+FB，從而證得結論．

解答：解：（1）直線y=-與x軸．y軸交點分別是A（8，0），B（0，4）．
∵⊙M過A、B兩點，
∴M必在AB的垂直平分線上．
∴M所在直線的斜率就是2，且過點（4，2）（該點就是AB的中點坐標）
∴M所在直線的方程就是y=2x-6
∵M在OA上，即M在x軸上
∴M（3，0）
（2）I是△OBM內心∴∠OBK=∠KBE
∵AB是⊙M的弦
∴MA=MB
∴∠MAB=∠MBA
∵∠OBK+∠KBE+∠MAB+∠MBA=90°
∴∠KBE+∠MBA=45°
∵BE是⊙M的直徑
∴∠BAK=90°
∴∠K=45°
∴△BAK是等腰Rt△
∴AK=AB
AB=

82+42

=4

5

，
∴AK=4

5

；
（3）過A作AF⊥PG于F，連接AG，AH
A（8，0），B（0，4）．
設P（8，y）
∵AP∥OB，AP=BP
∴∠PBA=∠ABO．
∴OA=OF，
在Rt△AOB和Rt△AFB中

AB=AB AP=AF

，
∴△AOB≌△AFB（HL），
∴BO=BF
又在Rt△FGA和Rt△AOH中

∠FGA=∠OHA AF=AO

∴Rt△FGA≌Rt△AOH
∴FG=HO
∴BH-BG=（BO+OH）-BG=BO+FG-BG=BO+FB=8．

點評：本題是一次函數、圓、圓的內心、以及點到直線的距離的綜合應用，正確證明：△AOB≌△AFB，且Rt△FGA≌Rt△AOH是解題的關鍵．