Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC為直徑的⊙O分別交AB、BC于點M、N，點P在AB的延長線上，且∠CAB=2∠BCP．
（1）求證：直線CP是⊙O的切線；
（2）若BC=2

5

，sin∠BCP=

5

5

，求⊙O的半徑及△ACP的周長．

Answer 1

（1）證明：連接AN，
∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，
∵AC是⊙O的直徑，∴AN⊥BC，
∴∠CAN=∠BAN，BN=CN，
∵∠CAB=2∠BCP，
∴∠CAN=∠BCP．
∵∠CAN+∠ACN=90°，
∴∠BCP+∠ACN=90°，
∴CP⊥AC
∵OC是⊙O的半徑
∴CP是⊙O的切線；

（2）∵∠ANC=90°，sin∠BCP=

5

5

，
∴

CN

AC

=

5

5

，
∴AC=5，
∴⊙O的半徑為

5

2

如圖，過點B作BD⊥AC于點D．
由（1）得BN=CN=

1

2

BC=

5

，
在Rt△CAN中，AN=

AC2-CN2

=2

5

在△CAN和△CBD中，
∠ANC=∠BDC=90°，∠ACN=∠BCD，
∴△CAN∽△CBD，
∴

BC

AC

=

BD

AN

，
∴BD=4．
在Rt△BCD中，CD=

BC2-BD2

=2，
∴AD=AC-CD=5-2=3，
∵BD∥CP，
∴

BD

CP

=

AD

AC

，

AD

DC

=

AB

BP

∴CP=

20

3

，BP=

10

3

∴△APC的周長是AC+PC+AP=20．