Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB=90°，點E在BC上，以CE為直徑的⊙O交AB于點F，AO∥EF

（1）求證：AB是⊙O的切線；

（2）如圖2，連結CF交AO于點G，交AE于點P，若BE=2，BF=4，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）2

【解析】

（1）連接OF，如圖1，證明△AOC≌△AOF，根據全等三角形的性質可得∠AFO=∠ACO=90°，即可證得AB是⊙O的切線；

（2）如圖2，在Rt△OFB中，設OE=OF=r，利用勾股定理求得r=3，從而得OB=5，設AC=AF=t，則AB=4+t，在Rt△ACB中，利用勾股定理求得t，即可得AC=6，從而可得AO長，然后證明△ACO∽△AGO，繼而可推導得出AO=AG，再證明△BEF∽△BOA，從而可推導得出，再證明△PEF∽△PAG，根據相似三角形的性質即可求得=2．

（1）連接OF，如圖1，

∵OA∥EF，

∴∠1=∠3，∠2=∠4，

∵OE=OF，

∴∠3=∠4，

∴∠1=∠2，

在△AOC和△AOF中，

，

∴△AOC≌△AOF，

∴∠ACO=∠AFO=90°，

∴OF⊥AB，

∴AB是⊙O的切線；

（2）如圖2，在Rt△OFB中，設OE=OF=r，

∵OF2+BF2=OB2，

∴r2+42=（r+2）2，解得r=3，

∴OB=5，

設AC=AF=t，則AB=4+t，

在Rt△ACB中，t2+82=（t+4）2，解得t=6，

即AC=6，

∴AO=，

∵∠CAO=∠GAO，∠ACO=∠AGC=90°，

∴△ACO∽△AGO，

∴AC：AO=AG：AC，

∴AC2=AOAG，

∴AG=，

∴AO=AG，

∵OA∥EF，

∴△BEF∽△BOA，

∴，

∴，

∴，

∵EF∥GA，

∴△PEF∽△PAG，

∴=2．