Question

【題目】如圖， 為線段上一動點，分別過點、作， ，連接、，已知， ， ，設．

（1）用含的代數式表示的長；

（2）請問點在什么位置時， 的值最小，求出這個最小值；

（3）根據（2）中的規律和結論，構圖求出代數式的最小值．

Answer 1

【答案】（1）用含x的代數式表示的長

（2）當A、C、E三點共線時取最小值，最小值為10；

（3）代數式最小值為

【解析】試題分析：

試題分析：（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；

（2）若點C不在AE的連線上，根據三角形中任意兩邊之和＞第三邊知，AC+CE＞AE，故當A、C、E三點共線時，AC+CE的值最小；

（3）由（1）（2）的結果可作BD=12，過點B作AB⊥BD，過點D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，連接AE交BD于點C，則AE的長即為代數式 +的最小值，然后構造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性質可求得AE的值．

試題解析：（1）由勾股定理知

∴

（2）當、、三點共線時取最小值，如下圖

∴在和中

∴

∴

∴

∴

∴

∴

∴

（3）根據（2）中規律可以構造出如圖所示

由（2）中方法可得：

∴

∴

∴

∴

∴代數式最小值為