Question

如圖，在平面直角坐標系中，圓M經過原點O，且與x軸、y軸分別相交于A（-6，0）、B（0，-8）兩點．
（1）求出直線AB的函數解析式；
（2）若有一拋物線的對稱軸平行于y軸且經過點M，頂點C在⊙M上，開口向下，且經過點B，求此拋物線的函數解析式；
（3）設（2）中的拋物線交x軸于D、E兩點，在拋物線上是否存在點P，使得S_△PDE=

1

15

S_△ABC？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法即可求解；
（2）首先根據拋物線的頂點在圓上且與y軸平行即可確定拋物線的頂點坐標，再根據待定系數法求函數解析式；
（3）三角形ABC的面積為15，所以假設三角形PDE的面積為1，因為DE長為2，所以P到DE的距離為1，則P的坐標是（x，1），代入拋物線解析式即可求解．

解答：解：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b，
則

-6k+b=0 b=-8

，
解得

k=- 4 3 b=-8

，
所以直線AB的解析式y=-

4

3

x-8；

（2）設拋物線的方程y=ax²+bx+c，
∵A（-6，0）、B（0，-8），
∴AB=10，
∴⊙M的半徑為5，
∴M（-3，-4），
∵由函數圖象可知拋物線的頂點在圓上，函數圖象的對稱軸與y軸平行，
∴拋物線的頂點C（-3，1），
且因拋物線的點對稱性有一點與B點關于拋物線的軸對稱為F（-6，-8），
由三點代入拋物線方程的a=-1，b=-6，c=-8．
所以y=-x²-6x-8；

（3）連接AC，BC，
根據（2）得：B（0，-8），
直線BC的解析式為：y=-3x-8，
∴點K（-

8

3

，0），
∴AK=6-

8

3

=

10

3

，
∴S_△ABC=S_△AKC+S_△ABK=

1

2

×

10

3

×1+

1

2

×

10

3

×8=15，
所以假設三角形PDE的面積為1，因為DE長為2，
所以P到DE的距離為1．
當y=1時，-x²-6x-8=1，解得x₁=x₂=-3，∴P₁（-3，1）；
當y=-1時，-x²-6x-8=-1，解得x₁=-3+

2

，x₂=-3-

2

，
∴P₂（-3+

2

，-1），P₃（-3-

2

，-1）．
綜上所述，這樣的P點存在，
且有三個，P₁（-3，1），P₂（-3+

2

，-1），P₃（-3-

2

，-1）．

點評：本題主要考查了待定系數法求直線和拋物線的解析式，正確求得拋物線的解析式是解決本題的關鍵．