Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標軸上，點C坐標為（﹣1，0），tan∠ACO＝2．一次函數y＝kx+b的圖象經過點B、C，反比例函數y＝的圖象經過點B．

（1）求一次函數關系式和反比例函數的關系式；

（2）當x＜0時，kx+b﹣＜0的解集為　 　；

（3）若x軸上有兩點E、F，點E在點F的左邊，且EF＝1．當四邊形ABEF周長最小時，請直接寫出點E的橫坐標為　 　．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x﹣，y＝﹣；（2）﹣3＜x＜0；（3）-

【解析】

（1）過點B作BF⊥x軸于點F，由△AOC≌△CFB求得點B的坐標，利用待定系數法可求出一次函數和反比例函數的關系式；

（2）當x＜0時，求出一次函數值y＝kx＋b小于反比例函數y＝的x的取值范圍，結合圖形即可直接寫出答案；

（3）把B向右平移1個單位得到B′（2，1），作點A關于x軸的對稱點A′（0，2），連接A′B′交x軸于點F，求出直線A′B′的解析式求出點F的坐標即可解決問題．

解：（1）如圖1中，過點B作BF⊥x軸于點F，

∵點C坐標為（﹣1，0），

∴OC＝1，

∵tan∠ACO＝2＝，

∴OA＝2，

∴點A坐標為（0，2）．

∴OA＝2，OC＝1，

∵∠BCA＝90°，

∴∠BCF+∠ACO＝90°，

又∵∠CAO+∠ACO＝90°，

∴∠BCF＝∠CAO，

∴△AOC≌△CFB（AAS），

∴FC＝OA＝2，BF＝OC＝1，

∴點B的坐標為（﹣3，1），

將點B的坐標代入反比例函數解析式可得：1＝，解得：m＝﹣3，

故可得反比例函數解析式為y＝﹣，

將點B、C的坐標代入一次函數解析式可得：

，解得： ．

故可得一次函數解析式為y＝﹣x﹣．

（2）結合點B的坐標及圖象，可得當x＜0時，kx+b﹣＜0的解集為：﹣3＜x＜0．

故答案為：﹣3＜x＜0．

（3）如圖中，把span>B向右平移1個單位得到B′（2，1），作點A關于x軸的對稱點A′（0，2），連接A′B′交x軸于點F，

設直線A′B′的解析式為ax+b（a≠0）

把A′（0，2），B′（2，1）代入得

解得

∴直線A′B′的解析式為y＝x2，

∴令y=0，即x2=0

解得x=-

∴F（，0），

∴OF＝

∴OE＝1＋＝

∴點E的橫坐標為，

故答案為．