Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，O是△ABC的內心，以O為圓心，r為半徑的圓與線段AB有公共點，則r的取值范圍是_____．

Answer 1

【答案】1≤r≤

【解析】分析：作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，根據題意得出四邊形OECF是正方形，得出OF=CF，由勾股定理得出AB==5，由內心的性質得出CF=OF=1，AF=AC﹣CF=3，由勾股定理求出OA，由直線與圓的位置關系，即可得出結果．

詳解：作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，連接OA、OB，如圖所示

則四邊形OECF是正方形，∴OF=CF=OE=CE．

∵∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB==5．

∵O是△ABC的內心，∴CE=CF=OF=OE=（AC+BC﹣AB）=1，∴AF=AC﹣CF=3，BE=BC﹣CE=2，∴OA===，OB===，當r=1時，以O為圓心，r為半徑的圓與線段AB有唯一交點；

當1＜r≤時，以O為圓心，r為半徑的圓與線段AB有兩個交點；

當＜r≤時，以O為圓心，r為半徑的圓與線段AB有1個交點；

∴以O為圓心，r為半徑的圓與線段AB有交點，則r的取值范圍是1≤r≤；

故答案為：1≤r≤．