Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，邊長為2的等邊三角形AEF的頂點E、F分別在BC和CD上，下列結論：①BE=DF；②∠AEB=75°；③CE=2；④S正方形ABCD=2+，其中正確答案是（　　）

A.①②B.②③C.①②④D.①②③

Answer 1

【答案】C

【解析】

證明Rt△ABE≌Rt△ADF，根據全等三角形的性質得到BE=DF；根據等腰直角三角形的性質、等邊三角形的性質求出∠AEB；根據等腰直角三角形的性質求出CE；根據勾股定理求出正方形的邊長．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，

∵△AEF是等邊三角形，

∴AE=AF，

在Rt△ABE和Rt△ADF中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，

∴BE=DF，①說法正確；

∵CB=CD，BE=DF，

∴CE=CF，即△ECF是等腰直角三角形，

∴∠CEF=45°，

∵∠AEF=60°，

∴∠AEB=75°，②說法正確；

如圖，∵△CEF為等腰直角三角形，EF=2，

∴CE=，③說法錯誤；

設正方形的邊長為a，則DF=a-，

在Rt△ADF中，

AD2+DF2=AF2，即a2+(a-)2=4，

解得a=或a=（舍去），

則a2=2+，即S正方形ABCD=2+，④說法正確，

故選C．