Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，且AB為⊙O的直徑．∠ACB的平分線交⊙O于點D，過點D作⊙O的切線PD交CA的延長線于點P，過點A作AE⊥CD于點E，過點B作BF⊥CD于點F．

（1）求證：DP∥AB；

（2）若AC=6，BC=8，求線段PD的長．

Answer 1

【答案】解：（1）證明：如圖，連接OD，

∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°。

∵∠ACB的平分線交⊙O于點D，∴∠ACD=∠BCD=45°。

∴∠DAB=∠ABD=45°。∴△DAB為等腰直角三角形。

∴DO⊥AB。

∵PD為⊙O的切線，∴OD⊥PD。

∴DP∥AB。

（2）在Rt△ACB中，，

∵△DAB為等腰直角三角形，∴。

∵AE⊥CD，∴△ACE為等腰直角三角形。∴。

在Rt△AED中，，

∴。

∵AB∥PD，∴∠PDA=∠DAB=45°。∴∠PAD=∠PCD。

又∵∠DPA=∠CPD，∴△PDA∽△PCD。∴。

∴PA=PD，PC=PD。

又∵PC=PA+AC，∴PD+6=PD，解得PD=。

【解析】

試題分析：（1）連接OD，由AB為⊙O的直徑，根據圓周角定理得∠ACB=90°，再由∠ACD=∠BCD=45°，則∠DAB=∠ABD=45°，所以△DAB為等腰直角三角形，所以DO⊥AB，根據切線的性質得OD⊥PD，于是可得到DP∥AB。

（2）先根據勾股定理計算出AB=10，由于△DAB為等腰直角三角形，可得到；由△ACE為等腰直角三角形，得到，在Rt△AED中利用勾股定理計算出DE=，則CD=，易證得∴△PDA∽△PCD，得到，所以PA=PD，PC=PD，然后利用PC=PA+AC可計算出PD。