Question

【題目】定義：若一個四邊形能被其中的一條對角線分割成兩個相似三角形，則稱這個四邊形為“友誼四邊形”．我們熟知的平行四邊形就是“友誼四邊形”，

（1）如圖1，在4×4的正方形網格中有一個Rt△ABC，請你在網格中找格點D，使得四邊形ABCD是被AC分割成的“友誼四邊形”，（要求畫出點D的2種不同位置）

（2）如圖2，BD平分∠ABC，BD＝4，BC＝8，四邊形ABCD是被BD分割成的“友誼四邊形”，求AB長；

（3）如圖3，圓內接四邊形ABCD中，∠ABC＝60，點E是的中點，連結BE交CD于點F，連結AF，∠DAF＝30°

①求證：四邊形ABCF是“友誼四邊形”；

②若△ABC的面積為6，求線段BF的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）AB＝6或8．（3）①詳見解析；②2

【解析】

（1）由題意可找到點D位置；
（2）分△ABD∽△CBD，△ABD∽△DBC兩種情況討論，由相似三角形的性質可求AB的長度；
（3）①由題意可得∠ABE=∠EBC=30°，由三角形內角和定理和圓的內接四邊形性質可得∠BAF=∠BFC，可證△ABF∽△FBC，即四邊形ABCF是“友誼四邊形”；
②由相似三角形的性質可得BF2=ABBC，由三角形面積公式可求AB×BC=6，即可求BF的長．

解：（1）畫出點D的2個位置．

（2）∵四邊形ABCD為被BD分割的友誼四邊形

∴△ABD與△DBC相似，

若△ABD∽△CBD

則

∴AB＝BC＝8

若△ABD∽△DBC

則

∴AB＝＝6

綜上所述：AB＝6或8．

（3）①∵E是的中點，

∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝30°，

∴∠C+∠BFC＝150°，

∵四邊形ABCD內接于圓O，

∴∠BAD+∠C＝180°，

∵∠DAF＝30°，

∴∠C+∠BAF＝150°，且∴∠C+∠BFC＝150°，

∴∠BAF＝∠BFC，且∠ABE＝∠CBE

∴△ABF∽△FBC．

∴四邊形ABCF為友誼四邊形

②如圖，過點A作AG⊥BC交BC與G，連接AC，

∵△ABF∽△FBC，

∴

∴BF2＝ABBC，

∵S△ABC＝BC×AG＝BC×AB×sin60°＝6

∴AB×BC＝6

∴AB×BC＝24＝BF2，且BF＞0，

∴BF＝2