Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD和BE是高，它們相交于點H，且AE＝BE

求證：AH＝2BD

Answer 1

【答案】詳見解析

【解析】

由等腰三角形的底邊上的垂線與中線重合的性質求得BC=2BD，根據直角三角形的兩個銳角互余的特性求知∠1+∠C=90°；又由已知條件AE⊥AC知∠2+∠C=90°，所以根據等量代換求得∠1=∠2；然后由三角形全等的判定定理SAS證明△AEH≌△BEC，再根據全等三角形的對應邊相等及等量代換求得AH=2BD

∵AD是高,BE是高

∴∠EBC+∠C=∠CAD+∠C=90°

∴∠EBC=∠CAD

又∵AE＝BE

∠AEH=∠BEC

∴△AEH△BEC(ASA)

∴AH ＝BC

∵AB＝AC，AD是高

∴BC=2BD

∴AH ＝2BD