Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c經過直線y=﹣x+5與坐標軸的交點B，C．已知D（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）M，N分別是BC，x軸上的動點，求△DMN周長最小時點M，N的坐標，并寫出周長的最小值；
（3）連接BD，設M是平面上一點，將△BOD繞點M順時針旋轉90°后得到△B1O1D1 ， 點B，O，D的對應點分別是B1 ， O1 ， D1 ， 若△B1O1D1的兩個頂點恰好落在拋物線上，請直接寫出點O1的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意C（0，5），B（5，0），

把C（0，5），B（5，0）的坐標代入y=﹣x2+bx+c得到 ，

解得 ，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+4x+5．

（2）解：如圖1中，作點D關于BC的對稱點D′，點D關于x軸的對稱點D″，連接D′D″交BC于M，交x軸于N，連接DM，DN．此時△DMN的周長最小．

易知D′（2，5），D″（0，﹣3），

設直線D′D″的解析式為y=kx+b，則有 ，

解得 ，

∴y=4x﹣3，

∴N（ ，0），

由 ，解得 ，

∴M（ ， ），

∴△DMN周長最小時點M（ ， ），N（ ，0），

△DMN的周長的最小值=D′D″= =2 ．

（3）解：①如圖2中，當O′和D′在拋物線上時，易知點O′與點C重合，CD′=OD=3，此時O′（0，5）．

②如圖3中，點B′、D′在拋物線上時，設點B′（x，﹣x2+4x+5）的橫坐標為x+1，則點D′的坐標為（x+3，﹣x2+4x+10）．

把D′坐標代入y=﹣x2+4x+5中，得到﹣x2+4x+10=﹣（x+3）2+4（x+3）+5，

解得x=﹣ ，

∴B′（﹣ ， ），

∴O′（﹣ ， ），

綜上所述，滿足條件的點O′的坐標為（0，5）或（﹣ ， ）．

【解析】（1）求出B、C兩點坐標，利用待定系數法即可解決問題；（2）如圖1中，作點D關于BC的對稱點D′，點D關于x軸的對稱點D″，連接D′D″交BC于M，交x軸于N，連接DM，DN．此時△DMN的周長最小．求出D′、D″的坐標，直線D′D″的解析式即可解決問題；（3）分兩種情形①如圖2中，當O′和D′在拋物線上時，易知點O′與點C重合，CD′=OD=3，此時O′（0，5）．②如圖3中，點B′、D′在拋物線上時，設點B′（x，﹣x2+4x+5）的橫坐標為x+1，則點D′的坐標為（x+3，﹣x2+4x+10）．把D′的坐標代入拋物線的解析式，求出x即可解決問題；
【考點精析】掌握二次函數的性質是解答本題的根本，需要知道增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．