Question

【題目】如圖， 是⊙的直徑，點(diǎn)是⊙上一點(diǎn)， 與過(guò)點(diǎn)的切線垂直，垂足為點(diǎn)，直線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，弦平分∠，交于點(diǎn)，連接．

（1）求證： 平分∠；

（2）求證：PC=PF；

（3）若，AB=14，求線段的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析；（2）證明過(guò)程見(jiàn)解析；（2）24．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)切線以及AD⊥PD得出OC∥AD，得到∠ACO=∠DAC，然后根據(jù)OC=OA得出∠ACO=∠CAO，從而得到∠DAC=∠CAO，即角平分線；（2）根據(jù)題意得出∠PFC=∠PCF，得出PC=PF；（3）根據(jù)題意得出△PAC∽△PCB，根據(jù)tan∠ABC可得，設(shè)PC=4k，PB=3k，根據(jù)Rt△POC得出PO=3k+7，根據(jù)AB的長(zhǎng)度得出OC的長(zhǎng)度，根據(jù)得出k的值，然后求出PC的長(zhǎng)度．

試題解析：（1）∵PD切⊙O于點(diǎn)C，∴OC⊥PD

又AD⊥PD，∴OC∥AD．∴∠ACO＝∠DAC．

又OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAO，

∴∠DAC＝∠CAO，即AC平分∠DAB．

（2）∵AD⊥PD，∴∠DAC＋∠ACD＝90°．

又AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°．

∴∠PCB＋∠ACD＝90°，

∴∠DAC＝∠PCB．

又∠DAC＝∠CAO，∴∠CAO＝∠PCB．

∵CE平分∠ACB，∴∠ACF＝∠BCF，

∴∠CAO＋∠ACF＝∠PCB＋∠BCF，

∴∠PFC＝∠PCF，

∴PC＝PF

（3）∵∠PAC＝∠PCB，∠P＝∠P，

∴△PAC∽△PCB，

∴．

又tan∠ABC＝，

∴，

∴

設(shè)， ，則在Rt△POC中， ，

∵AB=14，

∴，

∵，

∴，

∴k＝6 （k＝0不合題意，舍去）．

∴．