Question

已知⊙O的半徑為1，等腰直角三角形ABC的頂點B的坐標為（，0），CAB="90°," AC=AB，頂點A在⊙O上運動．

（1）設點A的橫坐標為x，△ABC的面積為S，求S與x之間的函數關系式，并求出S的最大值與最小值；（2）當直線AB與⊙O相切時，求AB所在直線對應的函數關系式．

Answer 1

（1），其中-1≤x≤1，S的最大值為，最小值為；（2）或.

試題分析：（1）過點A作AE⊥OB于點E，在Rt△OAE中求AE的長，然后再在Rt△BAE中求出AB的長，進而求出面積的表達式，結合定義域，根據一次函數的性質確定最大最小值；
（2）相切時有兩種情況，在第一象限或者第四象限，連接OA，并過點A作AE⊥OB于點E，在Rt△OAE中求出OE，然后就能求出A點坐標，AB所在直線對應的函數關系式很容易就能求出．
試題解析：（1）如圖1，連接OA，過點A作AE⊥OB于點E，
在Rt△OAE中，，
在Rt△BAE中，，
∴，其中-1≤x≤1.
∴當x=-1時，S的最大值為，當x=1時，S的最小值為.

（2）①當點A位于第一象限時（如圖1），連接OA，并過點A作AE⊥OB于點E，
∵直線AB與⊙O相切，∴∠OAB=90°.
又∵∠CAB=90°，∴∠CAB+∠OAB=180°.∴點O、A、C在同一條直線.
∴∠AOB=∠C=45°，即∠CBO=90°.
在Rt△OAE中，OE=AE=，點A的坐標為（，）.
又∵B的坐標為（，0），∴過A、B兩點的直線為.
②當點A位于第四象限時（如圖2），點A的坐標為（，），
∵B的坐標為（，0），∴過A、B兩點的直線為.
綜上所述，過A、B兩點的直線為或.