Question

已知：△ABC是邊長為4的等邊三角形,點O在邊AB上,⊙O過點B且分別與邊AB,BC相交于點D,E,EF⊥AC,垂足為F.

（1）求證：直線EF是⊙O的切線；
（2）當直線DF與⊙O相切時,求⊙O的半徑.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）⊙O的半徑是.

試題分析：（1）連接OE，得到∠OEB =60°,從而OE∥AC.，根據平行線的性質即可得到直線EF是⊙O的切線；
（2）連接DF,DE.構造直角三角形，解直角三角形即可。
試題解析：（1）連接OE
∵△ABC是等邊三角形,
∴∠ABC=∠C=60°.

∵OB="OE,"
∴∠OEB=∠C =60°,
∴OE∥AC.
∵EF⊥AC,
∴∠EFC=90°.
∴∠OEF=∠EFC=90°.
∴OE⊥EF,
∵⊙O與BC邊相交于點E,
∴E點在圓上.
∴EF是⊙O的切線；
(2)連接DF,DE.
∵DF是⊙O的切線,
∴∠ADF=∠BDF=90°
設⊙O的半徑為r,則BD=2r,
∵AB=4,
∴AD=4-2r,
∵BD=2r,∠B=60°,
∴DE=r,
∵∠BDE=30°,∠BDF="90°."
∴∠EDF=60°,
∵DF、EF分別是⊙O的切線,
∴DF=EF=DE=r,
在Rt△ADF中,
∵∠A=60°,
∴tan∠DFA= 
解得.
∴⊙O的半徑是