Question

【題目】如圖，△ABC中，∠B=90°，tan∠BAC=，半徑為2的⊙O從點A開始（圖1），沿AB向右滾動，滾動時始終與AB相切（切點為D）；當圓心O落在AC上時滾動停止，此時⊙O與BC相切于點E（圖2）．作OG⊥AC于點G．

（1）利用圖2，求cos∠BAC的值；

（2）當點D與點A重合時（如圖1），求OG；

（3）如圖3，在⊙O滾動過程中，設AD=x，請用含x的代數式表示OG，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）cos∠BAC=；（2）OG=；（3）OG=﹣x+，x的取值范圍是：0≤x≤4．

【解析】整體分析：

（1）連接OD，Rt△AOD中用勾股定理求OA，用余弦的定義求解；（2）連接OA，則∠AOG=∠BAC，在Rt△OAG中，用∠AOG的余弦求解；（3）連接OD交AC于點F，用x表示出OF，由∠FOG=∠BAC，利用∠FOG的余弦求解.

解：（1）如圖2，連接OD，

∵⊙O與AB相切，∴OD⊥AB，

∵tan∠BAC=，OD=2，∴AD=4，OA=，

∴cos∠BAC==；

（2）如圖1，連接OA，

∵⊙O與AB相切，∴OA⊥AB，

又∵OG⊥AC，∴∠AOG=90°﹣∠OAG=∠BAC，

∴cos∠AOG=cos∠BAC=.

∵cos∠AOG=，

∴OG=OAcos∠AOG=2×=；

（3）如圖3，連接OD交AC于點F，

∵⊙O與AB相切，∴OD⊥AB，∴∠FOG=90°﹣∠OFG，

又∵OG⊥AC，∴∠BAC=90°﹣∠AFD，

又∵∠OFG=∠AFD，∴∠FOG=∠BAC，

∵tan∠BAC=，

∴FD=ADtan∠BAC=x，

∴OF=2﹣x，∵cos∠BAC=cos∠FOG=，

∴OG=OFcos∠FOG=（2﹣x）=﹣x+，x的取值范圍是：0≤x≤4．