Question

（2012•嘉定區一模）己知BE、CF分別是△ABC的邊AC、AB上的高，高BE、CF所在的直線相交于點D（如圖）
（1）當∠BAC是銳角時，求證：△ABC∽△AEF；
（2）當∠BAC是鈍角時，（1）中的結論還成立嗎？直接寫出結論，無需說明理由；
（3）如果∠BAC=60°，求

S△AEF

S△ABC

的值．

Answer 1

分析：（1）根據BE、CF分別是△ABC的邊AC、AB上的高，得出∠AEB=∠AFC=90°，即可求出△ABE∽△ACF，得出

AE

AB

=

AF

AC

，從而證出△ABC∽△AEF；
（2）先作出圖形，證明的方法和（1）一樣．
（3）在Rt△ABE中，根據∠BAC=60°，得出∠ABE=30°，從而得出

AE

AB

=

1

2

，即可求出

S△AEF

S△ABC

的值．

解答：解：（1）∵AB⊥CF，BE⊥AC，
∴∠AEB=∠AFC=90°，
∵∠A=∠A，
∴△ABE∽△ACF，
∴

AE

AF

=

AB

AC

，
∴

AE

AB

=

AF

AC

，
∴△ABC∽△AEF；

（2）△ABC∽△AEF成立，
如圖：


（3）在Rt△ABE中，
∵∠BAC=60°，
∴∠ABE=30°，
∴

AE

AB

=

1

2

，
∴

S△AEF

S△ABC

=

1

4

．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質：有兩條邊對應成比例并且夾角相等的兩個三角形相似；相似三角形的對應邊成比例，對應角相等．