Question

【題目】如圖1，在以O為原點的平面直角坐標系中，點A的坐標為（0，2），點P（s，t）在拋物線y= x2+1上，點P到x軸的距離記為m，PA=n．

（1）若s=4，分別求出m、n的值，并比較m與n的大小關系；
（2）若點P是該拋物線上的一個動點，則（1）中m與n的大小關系是否仍成立？請說明理由；
（3）如圖2，過點P的直線y=kx（k≠0）與拋物線交于另一點Q連接PA、QA，是否存在k使得PA=2QA？若存在，請求出k的值；若不存在，請舉例說明．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵當s=4時，點P（s，t）在拋物線y= x2+1上，

∴t=5，

∵點P到x軸的距離記為m，

∴m=5，

∴P（4，5）

∵A（0，2），

∴PA= =5，

∴m=n，

∴m=5，n=5，m=n

（2）

解：m=n 仍然成立．

設P（s， s2+1），

∴m= s2+1，

∴n= = s2+1，

∴m=n 仍然成立

（3）

解：如圖，

分別過P、Q作PN⊥x軸，QM⊥x軸，

∵PA=2QA，

由（2）知，PN=2QM，

∵△QOM∽△PON，

∴ON=2OM，

設Q（a， a2+1），

∴P[2a， （2a）2+1]，

由PN=2QM得， （2a）2+1=2（ a2+1），

∴a= ，

當a= 時，

∴P（2 ，3），

∴k= ；

當a=﹣ 時，

∴P（﹣2 ，3），

∴k=﹣ ；

∴k=±

【解析】（1）根據拋物線上點的橫坐標代入拋物線解析式中，求出t=5，再用兩點間的距離公式求出PA，即可；（2）設出點P（S， S2+1），求出m，n即可；（3）分別過P、Q作PN⊥x軸，QM⊥x軸，由△QOM∽△PON得到ON=2OM，由PN=2QM建立方程， （2a）2+1=2（ a2+1），求出a= ，再分兩種情況計算即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的圖象的相關知識，掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點，以及對二次函數的性質的理解，了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．