Question

如圖1、2，已知拋物線y=ax²+bx+3經過點B（-1，0）、C（3，0），交y軸于點A．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）如圖1，若M（0，1），過點A的直線與x軸交于點D（4，0）．直角梯形EFGH的上底EF與線段CD重合，∠FEH=90°，EF∥HG，EF=EH=1．直角梯形EFGH從點D開始，沿射線DA方向勻速運動，運動的速度為1個長度單位/秒，在運動過程中腰FG與直線AD始終重合，設運動時間為t秒．當t為何值時，以M、O、H、E為頂點的四邊形是特殊的平行四邊形；
（3）如圖2，拋物線頂點為K，KI⊥x軸于I點，一塊三角板直角頂點P在線段KI上滑動，且一直角邊過A點，另一直角邊與x軸交于Q（m，0），請求出實數m的變化范圍，并說明理由．

Answer 1

（1）∵拋物線y=ax²+bx+3經過點B（-1，0）、C（3，0），
∴

a-b+3=0 9a+3b+3=0

，
解得

a=-1 b=2

．
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3．

（2）當直角梯形EFGH運動到E′F′G′H′時，過點F′作F′N⊥x軸于點N，延長E′H’交x軸于點P．
∵點M的坐標為（0，1），點A是拋物線與y軸的交點，
∴點A的坐標為（0，3）．
∵OA=3，OD=4，
∴AD=5．
∵E′H′∥OM，E′H′=OM=1，
∴四邊形E′H′OM是平行四邊形（當E′H′不與y軸重合時）．
∵F′N∥y軸，NG′∥x軸，
∴△F′ND∽△AOD．
∴

F′N

AO

=

ND

OD

=

F′D

AD

．
∵直角梯形E′F′G′H′是直角梯形EFGH沿射線DA方向平移得到的，
∴F′D=t，
∴

F′N

3

=

ND

4

=

t

5

．
∴F′N=

3t

5

，ND=

4t

5

．
∵E′F′=PN=1，
∴OP=OD-PN-ND=4-1-

4t

5

=3-

4t

5

．
∵E′P=F′N=

3t

5

，E′H′=1，
∴H′P=

3t

5

-1．
若平行四邊形E′H′OM是矩形，則∠MOH′=90°，此時H′G′與x軸重合．
∵F′D=t，
∴F′N=

3t

5

=1，即t=

5

3

．
即當t=

5

3

秒時，平行四邊形EHOM是矩形．
若平行四邊形E′H′OM是菱形，則OH′=1．
在Rt△H′OP中，OP²+H′P²=OH′²，即(3-

4t

5

)2+(

3t

5

-1)2=12
得t²-6t+9=0，解得t₁=t₂=3．
即當t=3秒時，平行四邊形EHOM是菱形．
綜上所述，當t=

5

3

秒時，平行四邊形EHOM是矩形，當t=3秒時，平行四邊形EHOM是菱形．

（3）過A作AR⊥KI于R點，則AR=KR=1．
當Q在KI左側時，△ARP∽△PIQ．
設PI=n，則RP=3-n，
∴

1-m

3-n

=

n

1

，即n²-3n-m+1=0，
∵關于n的方程有解，△=（-3）²-4（-m+1）≥0，
得m≥-

5

4

；
當Q在KI右側時，
Rt△APQ中，AR=RK=1，∠AKI=45°可得OQ=5．即P為點K時，
∴m≤5．
綜上所述，m的變化范圍為：-

5

4

≤m≤5．