Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑作⊙O交BC于點D，過點D作EF⊥AB于點F，交AC的延長線于點E．

（1）判斷EF與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）若AF=6，sinE=，求BF的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2).

【解析】

（1）EF與⊙O相切，先根據等腰三角形三線合一得：BD是高線也是中線，由此得OD是△ABC的中位線，所以OD∥AB，所以OD⊥EF，則EF與⊙O相切；

（2）設圓的半徑為x，根據△EOD∽△EAF，列比例式求x的值，則直徑AC=，則AB=，由此可得結論．

解：（1）EF與⊙O相切，理由是：

連接OD、AD，

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ADC=90°，

∵AB=AC，

∴BD=DC，

∵OA=OC，

∴OD為△ABC的中位線，

∴OD∥AB，

∵EF⊥AB，

∴OD⊥EF，

∴EF與⊙O相切；

（2）∵OD∥AB，

∴△EOD∽△EAF，

∴，

Rt△AEF中，sinE==，

∵AF=6，

∴=，

∴AE=10，

設OD=x，則OA=OD=x，

∴，

x=，

∴OA=，

∴AC=2OA=，

∴AB=AC=，

∴BF=AB﹣AF=﹣6=．