Question

【題目】如圖，OA是⊙M的直徑，點B在x軸上，連接AB交⊙M于點C．

（1）若點A的坐標為（0，2），∠ABO=30°，求點B的坐標．
（2）若D為OB的中點，求證：直線CD是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A的坐標為（0，2）

∴OA=2，

∵∠ABO=30°，∠AOB=90°，

∴AB=2OA=4，

∴由勾股定理可知：OB=2 ，

∴B（2 ，0）

（2）解：連接OC，MC

∵OA是⊙M的直徑，

∴∠ACO=90°，

∴∠OCB=90°，

在Rt△OCB中，D為OB的中點，

∴CD= OB=OD，

∴∠DCO=∠DOC，

∵MC=MO，

∴∠OCM=∠COM

∵∠MOC+∠DOC=∠AOB=90°，

∴∠MCO+∠DCO=∠MCD=90°

即MC⊥CD

∴直線CD是⊙M的切線．

【解析】（1）由點A的坐標可知OA的長度，根據∠ABO的度數可知，AB的長度為4，利用勾股定理即可求出OB的長度，從而求出B的坐標．（2）連接OC、MC、證明∠OCB為直角，根據D為OB的中點，可知∠DCO=∠DOC，易知∠OCM=∠COM，所以∠MCO+∠DCO=∠MCD=90°，即可求證MC⊥CD．
【考點精析】本題主要考查了切線的判定定理的相關知識點，需要掌握切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能正確解答此題．