Question

【題目】探究題
如圖1，等邊△ABC中，BC=4，點P從點B出發，沿BC方向運動到點C，點P關于直線AB、AC的對稱點分別為點M、N，連接MN．

（1）【發現】
當點P與點B重合時，線段MN的長是 ．
當AP的長最小時，線段MN的長是；
（2）【探究】
如圖2，設PB=x，MN2=y，連接PM、PN，分別交AB，AC于點D，E．
用含x的代數式表示PM= ， PN=；
（3）求y關于x的函數關系式，并寫出y的取值范圍；
（4）當點P在直線BC上的什么位置時，線段MN=3 （直接寫出答案）
（5）【拓展】
如圖3，求線段MN的中點K經過的路線長．

（6）【應用】
如圖4，在等腰△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，BC=2，點P、Q、R分別為邊BC、AB、AC上（均不與端點重合）的動點，則△PQR周長的最小值是 ．
（可能用到的數值：sin75°= ，cos75°= ，tan75°=2+ ）

Answer 1

【答案】
（1）4 ；6
（2）
x；
（4﹣x）
（3）

解：

如圖2，分別過點M，N作直線BC的垂線MF，NG，垂足分別是F，G，過點M作MH⊥NG垂足為H．

∵在Rt△PMF中，∠MPF=30°，PM= x，

∴MF= x，PF= x，

同理，在Rt△PNG中，∠NPG=30°，PN= （4﹣x），

∴NG= （4﹣x），PG= （4﹣x），

∵四邊形MFGH是矩形，則有

NH=NG﹣HG=NG﹣MF= （4﹣x）﹣ x= （2﹣x），

MH=FG=PF+PG= x+ （4﹣x）=6，

∴在Rt△MNH中，由勾股定理得，

MN2=NH2+MH2=3（x﹣2）2+36，

則y=3（x﹣2）2+36，

∵0≤x≤4，且當x=2時，y最小值=36；當x=0或4時，y最大值=48，

∴36≤y≤48

（4）

解：∵MN=3 ，MN2=63，

∴當y=63時，即3（x﹣2）2+36=63，

∴x=5或1，

∴當點P在B點右側距離為5，或者在點P在B點左側距離為1的位置處，均有線段MN=3

（5）

解：如圖3，分別過點M，N作直線BC的垂線MF，NG，垂足分別是F，G，連接MG，過MN的中點K，作KT⊥BC于點T，交MG于點S．

∵MF∥KT∥NG，且點K為MN的中點，

∴KS是△MNG的中位線，

ST是△GMF的中位線，

（6）2+
【解析】解：【發現】當AP的長最小時，AP⊥BC，即點P為BC的中點時，
此時E、F分別為AB、AC的中點，
∴PE= AC，PF= AB，EF= BC，
∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=6；
當點P和點B重合時，
此時G（H）為AB（AC）的中點，
∴CG=2 BH=2 ，
BN=4 ；
所以答案是：4 ，6；
【探究】PM=2PD=2× PB= x，PN=2PE=2× PC=2× （4﹣x）= （4﹣x）；
所以答案是： x， （4﹣x）；
【拓展】
由【探究】中的過程可知，若設PB=x，則有PC=4﹣x，MF= x，NG= （4﹣x），
由三角形中位線性質可得，ST= MF= x，KS= NG= （4﹣x），
∴KT=ST+KS= x+ （4﹣x）= ，
因此，在點P運動過程中，MN的中點 K到BC邊距離始終等于定值 ，且為
等邊△ABC高的一半，所以MN的中點K經過的路線恰為等邊△ABC的中位線，其路線長為2．
【應用】過BC的中點P作AB，AC的對稱點M，N，連接MN交AB與Q，交AC于R，

則此時△PQR周長最小，
∵∠BAC=30°，
∴∠B=∠C=75°，∠MPN=150°，
∴∠M=∠N=15°，
∴∠MQB=∠PQB=∠B=75°，
∴MN∥BC，PQ=PB=1，
同理PR=PC=1，
∵AP⊥BC，
∴AP⊥MN．
∵∠PQR=180°﹣75°﹣75°=30°，
∴QR=2× PQ= ，
∴△PQR周長的最小值是2+ ．
所以答案是：2+ ．