Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=4，AC=3，以BC為邊在三角形外作正方形BCDE，對(duì)角線BD、CE交于點(diǎn)O，則線段AO的最大值為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

過(guò)O作OF⊥AO且使OF=AO，連接AF、CF，可知△AOF是等腰直角三角形，進(jìn)而可得AF=AO，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得OB=OC，∠BOC=90°，由銳角互余的關(guān)系可得∠AOB=∠COF，進(jìn)而可得△AOB≌△COF，即可證明AB=CF，當(dāng)點(diǎn)A、C、F三點(diǎn)不共線時(shí)，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得AC+CF>AF，當(dāng)點(diǎn)A、C、F三點(diǎn)共線時(shí)可得AC+CF=AC+AB=AF=7，即可得AF的最大值，由AF=AO即可得答案.

如圖，過(guò)O作OF⊥AO且使OF=AO，連接AF、CF，

∴∠AOF=90°，△AOF是等腰直角三角形，

∴AF=AO，

∵四邊形BCDE是正方形，

∴OB=OC，∠BOC=90°，

∵∠BOC=∠AOF=90°，

∴∠AOB+∠AOC=∠COF+∠AOC，

∴∠AOB=∠COF，

又∵OB=OC，AO=OF，

∴△AOB≌△COF，

∴CF=AB=4，

當(dāng)點(diǎn)A、C、F三點(diǎn)不共線時(shí)，AC+CF>AF，

當(dāng)點(diǎn)A、C、F三點(diǎn)共線時(shí)，AC+CF=AC+AB=AF=7，

∴AF≤AC+CF=7，

∴AF的最大值是7，

∴AF=AO=7，

∴AO=.

故答案為：