Question

【題目】如圖，點C在AB為直徑的圓O上，AD與過點C的切線垂直，垂足為點D，AD交圓O于點E.

（1）求證：AC平分∠DAB；

（2）連接BE，若BE=6，sin∠CAD=，求圓O的半徑.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）如圖，連接OC，由切線性質及AD⊥CD可得AD//OC，得到∠DAC=∠ACO，根據等腰三角形的性質可得∠ACO=∠CAO，即可證明AC平分∠DAB；（2）如圖，連接BE、BC，BE交OC于F，由∠D=∠DEB=∠DCF=90°，可得四邊形DEFC是矩形，由垂徑定理可知EF=BE=3，進而可得CD=EF=3，根據∠CAD的正弦值可求出AC的長，由圓周角定理可得∠ACB=90°，利用∠BAC的三角函數值即可求出AB的長，即可得答案.

（1）如圖，連接OC，

∵CD是⊙O的切線，OC為半徑，

∴OC⊥CD，

∵AD⊥CD，

∴AD//OC，

∴∠DAC=∠ACO，

∵OA=OC，

∴∠ACO=∠CAO

∴∠DAC=∠CAO，

∴AC平分∠DAB.

（2）如圖，連接BE、BC，BE交OC于F，

∵AB是直徑，∠AEB、∠ACB是AB所對圓周角，

∴∠AEB=90°，∠ACB=90°，

∵∠EDC=∠FCD=∠DEF=90°，

∴四邊形DEFC是矩形，

∵OF⊥BE，OC是半徑，BE是弦，

∴EF=BE=3，

∴CD=EF=3，

∵sin∠CAD==，

∴AC=5，

∵sin∠CAD=，

∴cos∠CAD==，

∵∠CAD=∠CAB，

∴cos∠CAB=cos∠CAD==，

∴AB=，

∴OA=AB=.