Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米．M點在線段CA上，從C向A運動，速度為1米/秒；同時N點在線段AB上，從A向B運動，速度為2米/秒．運動時間為t秒．
（1）當t為何值時，∠AMN=∠ANM？
（2）當t為何值時，△AMN的面積最大？并求出這個最大值．

Answer 1

（1）t為4
（2）當t=6時，△AMN的面積最大，最大值為

（1）用t表示出AM和AN的值，根據AM=AN，得到關于t的方程求得t值即可。
（2）作NH⊥AC于H，證得△ANH∽△ABC，從而得到比例式，然后用t表示出NH，從而計算其面積得到有關t的二次函數求最值即可。
解：（1）∵從C向A運動，速度為1米/秒；同時N點在線段AB上，從A向B運動，速度為2米/秒，運動時間為t秒，
∴AM=12﹣t，AN=2t。
∵∠AMN=∠ANM，∴AM=AN，即12﹣t=2t，解得：t="4" 秒。
∴當t為4時，∠AMN=∠ANM。
（2）如圖作NH⊥AC于H，

∴∠NHA=∠C=90°。∴NH∥BC。
∴△ANH∽△ABC。
∴，即。∴NH=。
∴。
∴當t=6時，△AMN的面積最大，最大值為。