Question

【題目】如圖，一次函數y=kx+b的圖象l與坐標軸分別交于點E，F，與雙曲線y=﹣
（x＜0）交于點P（﹣1，n），且F是PE的中點．

（1）求直線l的解析式；
（2）若直線x=a與l交于點A，與雙曲線交于點B（不同于A），
①當a為何值時，△ABP是以點P為直角頂點的直角三角形？
②當a為何值時，PA=PB．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點P（﹣1，n）在反比例函數y=﹣ 圖象上，

∴n=4，

∴P（﹣1，4），

∵F是PE的中點，

∴F（0，2），

∴ ，

∴ ，

∴y=﹣2x+2

（2）解：①∵△ABP是以點P為直角頂點的直角三角形，

∴∠APB=90°=∠EOF，

∵直線AB∥y軸，

∴∠BAP=∠OFE，

∴△APB∽△FOE，

∴ =

當x=a時，y=﹣2a+2，

∴A（a，﹣2a+2），

∵P（﹣1，4），

∴AP= = = |a+1|

當x=a時，y=﹣ ，

∴B（a，﹣ ），

∴AB=|﹣2a+2+ ，

∵直線EF的解析式為y=﹣2x+2，

∴E（1，0），F（0，2），

∴OF=2，EF= ，

∴ ，

∴a= （舍）或a=﹣1（舍）或a=﹣8，

即：a=﹣8時，△ABP是以點P為直角頂點的直角三角形；

②如圖，

過P作PD⊥AB，垂足為點D，

∵P（﹣1，4），

∴D點的縱坐標為4，

∵PA=PB，

∴點D為AB的中點，

由題意知，A點的縱坐標為﹣2a+2，B點的縱坐標為 ，

∴ ，

解得a1=﹣2，a2=﹣1（舍去）．

∴當a=﹣2時，PA=PB

【解析】（1）將點P（﹣1，n）在代入反比例函數解析式可求得n的值，從而得到點P的坐標，然后再求得點F的坐標，接下來，利用待定系數法求解即可；
（2）①先判斷出△APB∽△FOE，然后依據相似三角形對應邊成比例的性質列方出求解即可；②利用線段的中點坐標建立方程求解即可.
【考點精析】掌握反比例函數的性質是解答本題的根本，需要知道性質:當k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內y值隨x值的增大而減��； 當k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內y值隨x值的增大而增大．