Question

【題目】建立模型：如圖1，已知△ABC，AC＝BC，∠C＝90°，頂點(diǎn)C在直線l上．

（1）操作：

過(guò)點(diǎn)A作AD⊥于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥于點(diǎn)E．求證：△CAD≌△BCE．

（2）模型應(yīng)用：

①如圖2，在直角坐標(biāo)系中，直線：與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，將直線繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到直線．求直線的函數(shù)表達(dá)式．

②如圖3，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B（4，3），作BA⊥y軸于點(diǎn)A，作BC⊥x軸于點(diǎn)C，P是直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q（a，5a﹣2）位于第一象限內(nèi)．問(wèn)點(diǎn)A、P、Q能否構(gòu)成以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，若能，請(qǐng)求出此時(shí)a的值，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）（3）或．

【解析】

（1）根據(jù)AAS即可證明△DAC≌△ECB；

（2）過(guò)點(diǎn)B作BC⊥BA，交直線l2于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D．根據(jù)得到AO＝3，OB＝1，根據(jù)△DCB≌△OBA可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（－4，1），再根據(jù)待定系數(shù)法即可求解；

（3）根據(jù)題意分兩種情況分別作圖即可求解.

（1）∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD＋∠BCE＝90°

∵AD⊥l，BE⊥l，

∴∠ADC＝∠CEB＝90°，

∴∠ACD＋∠DAC＝90° ，

∴∠DAC＝∠ECB

∵在△DAC和△ECB中，∠ADC＝∠CEB，∠DAC＝∠ECB，AC＝CB

∴△DAC≌△ECB（AAS）

（2）過(guò)點(diǎn)B作BC⊥BA，交直線l2于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D．

由直線：與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，

可求點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)B坐標(biāo)為（－1，0），

∴AO＝3，OB＝1．

由△DCB≌△OBA可得，DC＝OB＝1，DB＝OA＝3，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（－4，1）

設(shè)直線m的解析式為：y＝kx＋b，把（0，3），（－4，1）代入，

求得 ．

（3）如圖3，由△AEQ≌△QFP可得AE＝QF，3－（5a－2）＝4－a，

求得 ．

如備用圖，由△AEQ≌△QFP可得AE＝QF，（5a－2）－3＝4－a，

求得 ．