Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸分別交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，且OA=1，OB=3，頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)Q．

（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)P是拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，且與直線CD相切，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使得△DCM∽△BQC？如果存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，）或（1，1）

【解析】試題分析： 求出用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式.

設(shè)直線CD切⊙P于點(diǎn)E．連結(jié)PE、PA，作點(diǎn)．根據(jù)拋物線的解析式求出設(shè) 設(shè) 列出方程，求出的值.

分兩種情況進(jìn)行討論即可.

試題解析：（1）

∴

代入 ，得

解得　

∴拋物線對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的表達(dá)式為：

（2）如圖，設(shè)直線CD切⊙P于點(diǎn)E．連結(jié)PE、PA，作點(diǎn)．

由 得對(duì)稱軸為直線x=1，

∴

∴

∴為等腰直角三角形．

∴

∴

∴

∴為等腰三角形．

設(shè)

∴

在中，

∴

∴

整理，得

解得，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為 或

（3）存在點(diǎn)M，使得∽．

如圖，連結(jié)

∵

∴為等腰直角三角形，

∴

由（2）可知，

∴

∴分兩種情況．

當(dāng) 時(shí)，

∴，解得．

∴

∴

當(dāng)時(shí)，

∴，解得

∴

∴

綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或