Question

【題目】如圖，已知二次函數y=﹣x2+bx+c的圖象交x軸于點A（4，0）和點B，交y軸于點C（0，4）．

（1）求這個二次函數的表達式；

（2）若點P在第一象限內的拋物線上，求四邊形AOCP面積的最大值和此時點P的坐標；

（3）在平面直角坐標系內，是否存在點Q，使A，B，C，Q四點構成平行四邊形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+3x+4；（2）P（2，6），16；（3）存在，Q的坐標為（﹣5，4）或（5，4）或（3，﹣4）

【解析】試題分析：(1)、將點A和點C的坐標代入解析式，從而求出b和c的值，然后得出函數解析式；(2)、根據二次函數得出點B的坐標，根據題意可得要使△ACP的面積達到最大時，經過點P且與AC的平行直線與拋物線只有一個交點，從而得出答案；(3)、分兩種情況來進行討論：①以AB為邊時，CQ∥AB，CQ=AB 過點C作平行于AB的直線l，設點Q的坐標為（d，4），則CQ=|d|，根據題意得出AB=5，從而得出d的值，得出點Q的坐標；②、以AB為對角線時，CQ必過線段AB中點，且被AB平分，即：AB的中點也是CQ的中點，根據題意得出中點的坐標，得出直線CQ的解析式，設出點Q的坐標，然后根據勾股定理求出點Q的坐標得出答案.

試題解析：（1）∵二次函數y=﹣x2+bx+c的圖象交x軸于點A（4，0）和點B，交y軸于點C（0，4）．

∴，∴， ∴二次函數的表達式為y=﹣x2+3x+4，

（2）如圖，

由（1）有，二次函數的表達式為y=﹣x2+3x+4， 令y=0，得x=4，或x=-1，∴B（-1，0）

連接AC，PA，PC，要使四邊形的面積最大，當且僅當的面積最大時，

∴點P在平行于直線AC，且該直線與拋物線只有一個交點時，S△PAC最大，

即：S四邊形AOCP最大；

∵A（4，0），C（0，4）， ∴直線AC解析式為，

設與直線AC平行的直線解析式為，則

，∴

∴，∴，∴點P（2，6），

連接PO，過點P作PD⊥y軸，PG⊥x軸，則PD=2，PG=6，

∴．

（3）存在點Q，使A，B，C，Q四點構成平行四邊形，

p>理由：①以AB為邊時，CQ∥AB，CQ=AB 過點C作平行于AB的直線l，

∵C（0，4），∴直線l解析式為y=4，∴點Q在直線l上， 設Q（d，4），∴CQ=|d|，

∵A（﹣4，0），B（1，0），∴AB=5，∴|d|=5，∴d=±5， ∴Q（﹣5，4）或（5，4），

②以AB為對角線時，CQ必過線段AB中點，且被AB平分，即：AB的中點也是CQ的中點，

∵A（4，0），B（-1，0），∴線段AB中點坐標為（，0），

∵C（0，4），∴直線CQ解析式為y=-x+4，設點Q（m，-m+4），

∴，∴m=0（舍）或m=3，∴Q（3，﹣4），

即：滿足條件的點Q的坐標為（﹣5，4）或（5，4）或（3，﹣4）．