Question

【題目】如圖，AB為半圓O的直徑，C為BA延長線上一點，CD切半圓O于點D。連結(jié)OD，作BE⊥CD于點E，交半圓O于點F。已知CE=12，BE=9

（1）求證：△COD∽△CBE；
（2）求半圓O的半徑 的長

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵CD切半圓于點D，OD為⊙O的半徑，

∴CD⊥OD,

∴∠CDO=90°,

∵BE⊥CD于點E,

∴∠E=90°.

∵∠CDO=∠E=90°,∠C=∠C,

∴△COD∽△CBE.

（2）

解：∵在Rt△BEC中，CE=12,BE=9,

∴CE=15,

∵△COD∽△CBE,

∴,

即,

∴r=.

【解析】（1）根據(jù)CD切半圓于點D，BE⊥CD于點E,得出∠CDO=∠E=90°,根據(jù)三角形兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似得出△COD∽△CBE.
（2）根據(jù)（1）中△COD∽△CBE,得出 ， 從而求出半徑。
【考點精析】利用切線的性質(zhì)定理和相似三角形的判定與性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．