Question

【題目】如圖，BC為⊙O的直徑，AD⊥BC，垂足為D，，BF與AD交于E．

（1）求證：AE=BE；

（2）若A，F把半圓三等分，BC=12，求AE的長．

Answer 1

【答案】(1)證明詳見解析；(2) .

【解析】

試題分析：（1）連AC，要證明AE=BE，只要證∠ABE=∠BAE；BC為⊙O的直徑，得到∠BAC=90°，而AD⊥BC，可得∠BAD=∠ACB，由，得∠ACB=∠ABF，這樣就有∠ABE=∠BAE；

（2）由A，F把半圓三等分，得到∠ACB=∠CBF=30°，而BC=12，得到AB=6，再根據∠BAD=∠ACB，得到∠BAD=30°，所以BD=3，最后在Rt△BDE中，∠CBF=30°，BD=3，即可求出BE．

試題解析：（1）連AC，如圖，

∵BC為⊙O的直徑，

∴∠BAC=90°，

又∵AD⊥BC，

∴∠BAD=∠ACB，

又∵，

∴∠ACB=∠ABF，

∴∠ABE=∠BAE，

∴AE=BE；

（2）∵A，F把半圓三等分，

∴∠ACB=∠CBF=∠ABF=30°，

∴∠BAD=30°，

在Rt△ABC中，BC=12，所以AB=BC=6，

在Rt△ABD中，AB=6，所以BD=AB=3，

Rt△BDE中，∠CBF=30°，BD=3，

∴DE==，

∴BE=，

所以AE=．