Question

如圖所示的直角坐標系中，若△ABC是等腰直角三角形，AB=AC=8，D為斜邊BC的中點．點P由點A出發沿線段AB作勻速運動，P′是P關于AD的對稱點；點Q由點D出發沿射線DC方向作勻速運動，且滿足四邊形QDPP′是平行四邊形．設平行四邊形QDPP′的面積為y，DQ=x．
（1）求出y關于x的函數解析式；
（2）求當y取最大值時，過點P，A，P′的二次函數解析式；
（3）能否在（2）中所求的二次函數圖象上找一點E使△EPP′的面積為20？若存在，求出E點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵△ABC為等腰直角三角形，AB=AC=8
∴BC=16
∵D為斜邊BC的中點
∴AD=BD=DC=8
∵四邊形PDQP′為平行四邊形，DQ=x
∴AF=PF=FP′=x
故DF=AD-AF=8-x
則平行四邊形PDQP′的面積y=DQDF=x（8-x）=-x²+8x． 5分

（2）當x=8時，y取最大值，此時Q點運動到C點，P點運動到AB的中點，
則點A、P、P′的坐標分別為（0，8）、（-4，4）、（4，4）．
設過上述三點的二次函數解析式為y=ax²+8，
代入P點坐標有y=-x²+8 9分

（3）假設在y=-x²+8的圖象上存在一點E，使S_△PP′E=20
設E的坐標為（x，y），則S_△PP′E=|PP′||y-4|=20．
即|y-4|=5，可得y=9，-1，
代入解析式可得E點坐標為（-6，-1），（6，-1）．13分
分析：（1）根據題意易得，四邊形PDQP′為平行四邊形，設DQ=x；故有AF=PF=FP′=x，故DF=AD-AF=8-x；進而可得y關于x的函數解析式；
（2）由（1）可得，其解析式為二次函數，分析可得當x=8時，y取最大值，此時Q點運動到C點，P點運動到AB的中點，進而可得過點P，A，P′的二次函數解析式；（3）首先假設存在，并設其坐標為（x，y），表示出△PP′E的面積，可得x與y的值，判斷出存在．
點評：本題考查學生數形結合處理問題、解決問題的能力．