Question

【題目】我們運用圖（Ⅰ）中大正方形的面積可表示為（a+b）2 ， 也可表示為c3+4（ab），即（a+b）2=c2+4（ab）由此推導出一個重要的結論a2+b2=c2 ， 這個重要的結論就是著名的“勾股定理”．這種根據圖形可以極簡單地直觀推論或驗證數學規律和公式的方法，簡稱“無字證明”．

（1）請你用圖（Ⅱ）（2002年國際數學家大會會標）的面積表達式驗證勾股定理（其中四個直角三角形的較大的直角邊長都為a，較小的直角邊長都為b，斜邊長都為c）．
（2）請你用（Ⅲ）提供的圖形進行組合，用組合圖形的面積表達式驗證：（x+2y）2=x2+4xy+4y2 ．

Answer 1

【答案】解：（1）S陰影=4×ab，S陰影=c2﹣（a﹣b）2 ，
∴4×ab=c2﹣（a﹣b）2 ， 即2ab=c2﹣a2+2ab﹣b2 ，
則a2+b2=c2；
（2）如圖所示，

大正方形的面積為x2+4y2+4xy，也可以為（x+2y）2 ，
則（x+2y）2=x2+4xy+4y2 ．
【解析】（1）陰影部分面積由大正方形面積減去小正方形面積，也可以由四個直角三角形面積之和求出，兩者相等即可得證；
（2）拼成如圖所示圖形，根據大正方形邊長為x+2y，表示出正方形面積，再由兩個小正方形與兩個矩形面積之和求出，即可驗證．