Question

如圖，△ABC中，AB=4，AC=2，BC=2

3

，以BC為直徑的半圓交AB于點D，以A為圓心，AC為半徑的扇形交AB于點E．
（1）以BC為直徑的圓與AC所在的直線有何位置關系？請說明理由；
（2）求圖中陰影部分的面積（結果可保留根號和π）．

Answer 1

（1）相切．（1分）
理由：∵2²+（2

3

）²=16=4²，
∴AC²+BC²=AB²．
∴∠ACB=90°．
∴以BC為直徑的圓與AC所在的直線相切．（4分）

（2）∵Rt△ABC中，cosA=

AC

AB

=

1

2

．
∴∠A=60°．（5分）
∴S_陰影=S_半圓-（S_△ABC-S_扇形ACE）
=

1

2

π（

3

）²-（

1

2

×2×2

3

-

60

360

π×2²）=

13π

6

-2

3

．（8分）