Question

【題目】已知如圖1，在中，，，點在上，交于，點是的中點．

（1）寫出線段與線段的關系并證明；

（2）如圖2，將繞點逆時針旋轉，其它條件不變，線段與線段的關系是否變化，寫出你的結論并證明；

（3）將繞點逆時針旋轉一周，如果，，直接寫出線段的范圍．

　　　　

Answer 1

【答案】（1），，證明見解析；（2）結論不變，理由見解析；（3）最大值 最小值．

【解析】

（1）在Rt△ADF中，可得DE=AE=EF，在Rt△ABF中，可得BE=EF=EA，得證ED=EB；然后利用等腰三角形的性質以及四邊形ADFB的內角和為180°，可推導得出∠DEB=90°；

（2）如下圖，先證四邊形MFBA是平行四邊形，再證△DCB≌△DFM，從而推導出△DMB是等腰直角三角形，最后得出結論；

（3）如下圖，當點F在AC上時，CE有最大值；當點F在AC延長線上時，CE有最小值．

（1）∵DF⊥AC，點E是AF的中點

∴DE=AE=EF，∠EDF=∠DFE

∵∠ABC=90°，點E是AF的中點

∴BE=AE=EF，∠EFB=∠EBF

∴DE=EB

∵AB=BC，

∴∠DAB=45°

∴在四邊形ABFD中，∠DFB=360°－90°－45°－90°=135°

∠DEB=∠DEF+∠FEB=180°－2∠EFD+180°－2∠EFB=360°－2(∠EFD+∠EFB)

=360°－2×135°=90°

∴DE⊥EB

（2）如下圖，延長BE至點M處，使得ME=EB，連接MA、ME、MF、MD、FB、DB，延長MF交CB于點H

∵ME=EB，點E是AF的中點

∴四邊形MFBA是平行四邊形

∴MF∥AB，MF=AB

∴∠MHB=180°－∠ABC=90°

∵∠DCA=∠FCB=

∴∠DCB=45°+，∠CFH=90°－

∵∠DCF=45°，∠CDF=90°

∴∠DFC=45°，△DCF是等腰直角三角形

∴∠DFM=180°－∠DFC－∠CFH=45°+

∴∠DCB=∠DFM

∵△ABC和△CDF都是等腰直角三角形

∴DC=DF，BC=AB=MF

∴△DCB≌△DFM(SAS)

∴∠MDF=∠BDC，DB=DM

∴∠MDF+∠FDB=∠BDC+∠FDB=90°

∴△DMB是等腰直角三角形

∵點E是MB的中點

∴DE=EB，DE⊥EB

（3）當點F在AC上時，CF有最大值，圖形如下：

∵BC=6，∴在等腰直角△ABC中，AC=6

∵CF=3，∴AF=3

∴CE=CF+FE=CF+

當點F在AC延長線上時，CE有最小值，圖形如下：

同理，CE=EF－CF