Question

【題目】如圖，△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，AC、BD交于M

（1）如圖1，當α＝90°時，∠AMD的度數為　 　°

（2）如圖2，當α＝60°時，∠AMD的度數為　 　°

（3）如圖3，當△OCD繞O點任意旋轉時，∠AMD與α是否存在著確定的數量關系？如果存在，請你用表示∠AMD，并圖3進行證明；若不確定，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）90；（2）60；（3）∠AMD＝180°﹣α，證明詳見解析．

【解析】

（1）如圖1中，設OA交BD于K．只要證明△BOD≌△AOC，推出∠OBD=∠OAC，由∠AKM=∠BKO，可得∠AMK=∠BOK=90°；

（2）如圖2中，設OA交BD于K．只要證明△BOD≌△AOC，推出∠OBD=∠OAC，由∠AKM=∠BKO，推出∠AMK=∠BOK=60°；

（3）如圖3中，設OA交BD于K．只要證明△BOD≌△AOC，可得∠OBD=∠OAC，由∠AKO=∠BKM，推出∠AOK=∠BMK=α．可得∠AMD=180°-α.

（1）如圖1中，設OA交BD于K．

∵OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，

∴∠BOD＝∠AOC，

∴△BOD≌△AOC，

∴∠OBD＝∠OAC，

∵∠AKM＝∠BKO，

∴∠AMK＝∠BOK＝90°．

故答案為90．

（2）如圖2中，設OA交BD于K．

∵OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，

∴∠BOD＝∠AOC，

∴△BOD≌△AOC，

∴∠OBD＝∠OAC，

∵∠AKM＝∠BKO，

∴∠AMK＝∠BOK＝60°．

故答案為60．

（3）如圖3中，設OA交BD于K．

∵OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，

∴∠BOD＝∠AOC，

∴△BOD≌△AOC，

∴∠OBD＝∠OAC，

∵∠AKO＝∠BKM，

∴∠AOK＝∠BMK＝α．

∴∠AMD＝180°﹣α．