Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B坐標(biāo)為（-4，0），點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，點(diǎn)A為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，其坐標(biāo)為（0，k），BE，CD分別為△ABC中AC，AB邊上的高，垂足分別為E，D．
（1）當(dāng)k=-3時(shí)，求AB的長(zhǎng)；
（2）試說(shuō)明△DOE是等腰三角形；
（3）k取何值時(shí)，△DOE是等邊三角形？（直接寫出k的值即可）

Answer 1

（1）∵點(diǎn)B坐標(biāo)為（-4，0），當(dāng)k=-3時(shí)，A的坐標(biāo)為（0，-3），
∴OA=3，OB=4，
∴AB=

32+42

=5；

（2）∵點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，
∴OB=OC，
∵BE是△ABC中AC邊上的高，
∴OE=

BC

2

，
同理OD=

BC

2

，
∴OD=OE，
∴△DOE是等腰三角形；

（3）當(dāng)△ABC是銳角三角形，點(diǎn)A在y軸的正半軸時(shí)，
若△ODE為等邊三角形，則∠DOE=60°，
∵∠BOD=∠COE=60°，
∵OD=OB，
∴∠DBO=60°，
∴∠BAO=30°，
∴AB=2BO=8，
∴OA=

AB2-BO2

=

82-42

=4

3

，
∴k=4

3

，
當(dāng)點(diǎn)A在y軸的負(fù)半軸時(shí)，
k=-4

3

，
如圖：當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)，
若△ODE為等邊三角形，則∠DOE=60°，
∵∠BOD=∠COE，
∴∠COE=60°，
∵OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB=30°，
∴AB=2AO=2|k|，
k²+4²=（2k）²，
k=±

4

3

3

；
則k=±

4

3

3

或±4

3

．