Question

已知：如圖，等邊△ABC的邊長是4，D是邊BC上的一個動點（與點B、C不重合），連接AD，作AD的垂直平分線分別與邊AB、AC交于點E、F．
（1）求△BDE和△DCF的周長和；
（2）設CD長為x，△BDE的周長為y，求y關于x的函數解析式，并寫出它的定義域；
（3）當△BDE是直角三角形時，求CD的長．

Answer 1

（1）∵EF垂直平分AD，
∴AE=DE，AF=DF．（1分）
∴C_△BDE+C_△CDF=BE+BD+DE+CD+DF+CF=BC+AC+AB．（1分）
∵BC=AC=AB=4，
∴C_△BDE+C_△CDF=12．（1分）

（2）∵CD=x，BC=4，
∴BD=4-x．（1分）
∵DE=AE，
∴C_△BDE=AB+BD，
即y=4+4-x=8-x，
所以，y=8-x．（1分）
定義域為0＜x＜4．（1分）

（3）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=60°．
①當∠BED=90°時，∠BDE=30°，
∴BE=

1

2

BD=

1

2

（4-x），DE=

3

2

（4-x），
∵BE+DE=4，
∴

1

2

（4-x）+

3

2

（4-x）=4，
解得x=8-4

3

．（1分）
②當∠EDB=90°時，∠BED=30°，
∴BE=2BD=2（4-x），DE=

3

（4-x），
∵BE+DE=4，
∴2（4-x）+

3

（4-x）=4，
解得x=4

3

-4．（1分）
綜上所述，當△BDE是直角三角形時，CD的長為8-4

3

或4

3

-4．（1分）