Question

【題目】如圖，已知二次函數 y=ax2+bx+c 的圖象經過點 A（﹣4，0），B（﹣1，3），C（﹣3，3）．

（1）求此二次函數的解析式

（2）設此二次函數的對稱軸為直線 l，該圖象上的點 P（m，n）在第三象限， 其關于直線 1 的對稱點為 M，點 M 關于 y 軸的對稱點為 N，若四邊形 OAPN 的面積為 20，求 m，n 的值；

（3）在對稱軸直線 l 上是否存在一點 D，使△ADC 的周長最短，如果存在，求出點 D 的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣4x；（2）m 的值為﹣5，n 的值為﹣5；（3）在對稱軸直線 l 上存在一點 D，使△ADC 的周長最短，點 D 的坐標為（﹣2， 2）．

【解析】

(1)根據點 A、B、C 的坐標，利用待定系數法即可求出二次函數的解析式；

(2)利用配方法找出二次函數的對稱軸，由點 P 的坐標可得出點 M、N 的坐標，利用梯形的面積公式結合四邊形 OAPN 的面積為 20，可求出 n 值，再利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出 m 的值；

(3)連接 AB，交直線 l 于點 D，利用兩點之間線段最短可得出點 D 即為所求， 根據點 A、B 的坐標，利用待定系數法可求出直線 AB 的解析式，再利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點 D 的坐標．

解：（1）將 A（﹣4，0）、B（﹣1，3）、C（﹣3，3）代入 y=ax2+bx+c 中，

得： ，解得： ，

∴二次函數的解析式為 y=﹣x2﹣4x．

（2）∵二次函數的解析式為 y=﹣x2﹣4x=﹣（x+2）2+4，

∴二次函數的對稱軸為直線 x=﹣2．

∵點 P（m，n）關于直線 1 的對稱點為 M，點 M 關于 y 軸的對稱點為 N，

∴點 M（﹣4﹣m，n），點 N（m+4，n）（如圖 1），

∴S 四邊形 OAPN=（OA+PN）|n|= （4+4）|n|=20， 解得：n1=5，n2=﹣5．

∵點 P（m，n）在第三象限，

∴n=﹣5，

∴﹣m2﹣4m=﹣5，

解得：m1=﹣5，m2=1（舍去）．

∴m 的值為﹣5，n 的值為﹣5．

（3）∵AC 的值為定值，

∴要使△ADC 的周長最短，則 AD+CD 的值最小．

連接 AB，交直線 l 于點 D，則 BD=CD，此時由兩點之間線段最短可得知，點 D

即為所求（如圖 2）．

設直線 AB 的解析式為 y=kx+d（k≠0），

將 A（﹣4，0）、B（﹣1，3）代入 y=kx+d 中，

得： ，解得： ，

∴直線 AB 的解析式為 y=x+4， 當 x=﹣2 時，y=x+4=2，

∴點 D 的坐標為（﹣2，2）．

∴在對稱軸直線 l 上存在一點 D，使△ADC 的周長最短，點 D 的坐標為（﹣2， 2）．