Question

【題目】解答題
（1）問題發現
如圖1，△ABC和△ADE均為等邊三角形，點D在邊BC上，連接CE．請填空：
①∠ACE的度數為；
②線段AC、CD、CE之間的數量關系為 ．

（2）拓展探究
如圖2，△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，點D在邊BC上，連接CE．請判斷∠ACE的度數及線段AC、CD、CE之間的數量關系，并說明理由．

（3）解決問題
如圖3，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD=2，CD=1，AC與BD交于點E，請直接寫出線段AC的長度．

Answer 1

【答案】
（1）60°；AC=CD+CE
（2）

解：∠ACE=45°， AC=CD+CE，理由是：

如圖2，∵△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，

即∠BAD=∠CAE，

∴△ABD≌△ACE，

∴BD=CE，∠ACE=∠B=45°，

∵BC=CD+BD，

∴BC=CD+CE，

∵在等腰直角三角形ABC中，BC= AC，

∴ AC=CD+CE；

（3）

解：如圖3，過A作AC的垂線，交CB的延長線于點F，

∵∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD=2，CD=1，

∴BD=2 ，BC= ，

∵∠BAD=∠BCD=90°，

∴∠BAD+∠BCD=180°，

∴A、B、C、D四點共圓，

∴∠ADB=∠ACB=45°，

∴△ACF是等腰直角三角形，

由（2）得： AC=BC+CD，

∴AC= = = ．

【解析】解：（1）①∵△ABC和△ADE均為等邊三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠B=60°，
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE=∠B=60°，
所以答案是：60°；②線段AC、CD、CE之間的數量關系為：AC=CD+CE；
理由是：由①得：△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，
∵AC=BC=BD+CD，
∴AC=CD+CE；
所以答案是：AC=CD+CE；